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주사위 눈금은 정말 6분의 1 확률로 나올까

부루마불이든 할리갈리든, 오래된 보드게임 상자를 열면 주사위 한두 개가 사라지고 없다. 남은 걸 굴려보면 왠지 한쪽 눈이 자주 나오는 것 같기도 하고, 신경 쓰다 보면 게임에 집중이 안 된다. 그러다 결국 휴대폰 주사위 앱을 켜게 되는데, 이번엔 "화면 속 주사위는 진짜 공평한가"가 궁금해졌다.

주사위가 공평하려면 필요한 조건

정육면체 주사위가 여섯 면 모두 6분의 1 확률로 나오려면 생각보다 조건이 많다.

• 완벽한 대칭 — 여섯 면의 크기와 각이 정확히 같아야 한다.
• 무게 중심이 정확히 가운데 — 한쪽이 조금이라도 무거우면 그 반대 면이 위로 오기 쉬워진다.
• 모서리 마모가 고르게 — 오래 굴리다 보면 자주 부딪히는 모서리가 먼저 닳는다.
• 표면 재질이 일정 — 눈(pip)을 파내거나 다른 색을 칠하면 그 부분만 미세하게 가벼워지거나 무거워진다.

카지노용 주사위는 이 조건을 맞추려고 모서리를 날카롭게 깎고(모서리가 둥글면 굴러가는 방향이 편향된다), 눈을 파낸 자리에 원래 재질과 밀도가 같은 재료로 채운다. 반면 보드게임에 딸려 오는 저가 주사위는 사출 성형 과정에서 기포가 한쪽에 몰리거나, 눈금 페인트 두께가 일정하지 않은 경우가 흔하다.

집에 있는 주사위가 치우치는 진짜 이유

새 주사위라도 완벽하지 않지만, 오래 쓴 주사위가 더 의심스러운 데는 이유가 있다.

1. 모서리가 닳는다. 자주 부딪히는 모서리 몇 개가 둥글어지면, 그쪽으로 살짝 더 잘 구른다.
2. 표면에 흠집이 쌓인다. 오래 쓰다 보면 특정 면에 눌린 자국이나 흠집이 생겨 반발이 달라진다.
3. 온습도에 따라 변형된다. 플라스틱은 온도와 습도에 따라 미세하게 수축·팽창한다. 여름 다용도실에 몇 년 방치된 주사위는 원래 모양과 조금 달라져 있을 수 있다.
4. 던지는 습관도 영향을 준다. 늘 같은 손, 같은 힘, 같은 표면에서 굴리면 통계적으로 아주 미세한 편향이 쌓인다. 다만 이 효과는 주사위 자체의 결함보다 훨씬 작다.

집에서 확인해보는 법

의심이 가는 주사위가 있다면 간단히 확인할 수 있다.

• 여러 번 굴려서 세어보기. 한두 번으로는 알 수 없다. 최소 60번, 가능하면 100번 이상 굴려서 눈금별로 나온 횟수를 적어본다. 완벽히 6분의 1씩 나오진 않아도, 특정 눈이 다른 눈보다 눈에 띄게(두 배 가까이) 자주 나온다면 의심할 만하다.
• 소금물에 띄워보기. 흔히 알려진 방법인데, 소금물에 주사위를 띄우면 무게 중심이 있는 면이 아래로 가라앉아 그 반대 면이 위로 뜬다고 한다. 다만 이 방법은 물의 부력과 표면장력에 영향을 많이 받아 정밀한 검증법은 아니다. 재미 삼아 해볼 정도로만 받아들이는 게 좋다.
• 면끼리 맞대어 견줘보기. 마주 보는 면 두 개를 눈으로 맞대 보면 유난히 닳거나 눌린 자국이 있는지 대략 확인할 수 있다.

디지털 주사위는 다른 문제를 가진다

화면 속 주사위는 모서리가 닳거나 무게 중심이 쏠릴 일이 없다. 대신 다른 지점에서 공평함이 갈린다. 바로 난수를 뽑는 방식이다.

앱이 주사위를 "굴릴" 때 실제로는 애니메이션을 그리기 전에 1부터 6 사이의 난수를 먼저 뽑는다. 그다음 정육면체가 그 숫자가 나온 면을 정면으로 향하도록 여러 바퀴 돌면서 멈추는 것처럼 보이게 만드는 것뿐이다. 즉 눈으로 보는 화려한 회전은 결과를 정하는 것과는 무관하고, 이미 정해진 결과를 보여주는 연출에 가깝다.

그렇다면 관건은 그 난수가 정말 6분의 1씩 고르게 나오는가다. 대부분의 웹 브라우저가 쓰는 난수 생성기는 도박용으로 인증받은 전용 장비만큼 엄격하진 않아도, 사람이 눈으로 편향을 느낄 수 있을 만큼 한쪽으로 쏠리지는 않게 설계돼 있다. 오히려 실물 주사위 하나하나가 가진 미세한 성형·마모 결함보다, 화면 속 주사위 쪽이 "여섯 면이 항상 똑같은 확률"이라는 조건에는 더 가깝다.

그래도 실물 주사위를 쓰는 이유

그렇다고 실물 주사위가 필요 없다는 뜻은 아니다.

• 여러 명이 동시에 확인할 수 있다. 손으로 굴려 테이블 가운데 놓인 주사위는 모두가 같은 순간에 결과를 본다. 화면은 들고 있는 사람 위주로 보이기 쉽다.
• 손맛이 있다. 흔들고 던지는 감각 자체가 보드게임이 주는 재미 중 하나다.
• 공식 대회는 규격을 따진다. 대회용 주사위는 재질·크기·모서리 각도까지 규정돼 있어, 임의의 앱 난수보다 오히려 더 엄격하게 관리된다.

반대로 주사위 하나가 없어졌거나, 여러 개를 동시에 굴려야 하는데 손에 남은 게 부족할 때는 화면 속 주사위로 대신해도 확률 면에서 아쉬울 게 없다. 오히려 오래돼 한쪽으로 치우친 실물 주사위보다 나을 수도 있다.

여러 명이 볼 때 참고할 점

주사위를 두 개 굴려 합을 확인해야 하는 보드게임도 많다(모노폴리, 부루마불류가 대표적이다). 손으로 던지면 두 주사위가 멀리 떨어져 굴러가 합을 헷갈리는 경우가 생긴다. 화면으로 굴릴 때는 두 눈이 한 화면 안에 나란히 보이고, 합계까지 바로 표시되니 세는 실수가 줄어든다. 눈이 나쁘거나 어린아이와 함께 할 때는 합을 음성으로 읽어주는 기능을 켜두면 눈으로 확인하는 부담도 던다.

타이머를 같이 쓰는 보드게임이라면(제한 시간 안에 턴을 마쳐야 하는 규칙 등) 주사위를 굴리는 순간 자동으로 카운트다운이 시작되도록 맞춰두면 따로 시간을 재는 사람이 필요 없어진다. 다시 굴리면 시간이 처음부터 새로 시작되니, 턴이 넘어갈 때마다 매번 손으로 초시계를 누를 필요도 없다.

정리

주사위는 보기보다 "완벽하게 공평하기" 어려운 물건이다. 실물이든 디지털이든 각자 다른 이유로 편향이 생길 수 있다는 걸 알면, 어느 쪽을 쓰든 마음이 편해진다. 다음에 보드게임 상자에서 주사위가 하나 사라졌다면, 죄책감 없이 화면 속 주사위를 굴려도 된다.